Question

如图，某园林绿化单位准备在一直角ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，若AB=a，∠DAB=θ，种草的面积为S₁，种花的面积为S₂，比值称为“规划和谐度”．
（I）试用a，θ表示S₁，S₂；
（II）若a为定值，BC＞AB．当θ为何值时，“规划和谐度”有最小值？最小值是多少？

Answer

（I）求出△ABD的面积为，设正方形BEFG的边长为t，利用三角形的相似求出S2，然后求出S1
（II）由（I），通过tanθ∈（0，+∞），通过基本不等式推出，当θ=有最小值1．
【解析】
（I）∵BD=atanθ，
∴△ABD的面积为））…（2分）
设正方形BEFG的边长为t，
则由，…（4分）
∴S2=，
∴S1=．…（6分）
（II）由（I）-1，…（8分）
∵tanθ∈（0，+∞），
∴）≥1，…（10分）
当且仅当tanθ=1时取等号，此时θ=．
∴当θ=有最小值1．…（12分）