Question

已知实数q≠0，数列{a_n}的前n项和S_n，a₁≠0，对于任意正整数m，n且m＞n，恒成立．
（1）证明数列{a_n}是等比数列；
（2）若正整数i，j，k成公差为3的等差数列，S_i，S_j，S_k按一定顺序排列成等差数列，求q的值．

Answer

（1）令m=1，可得Sn-a1=qSn-1，Sn+1-a1=qSn，两式相减得：an+1=qan（n≥2），经检验对第一项也成立，从而结论成立．
（2）不妨设i，i+3，i+6，分Si，Si+3，Si+6成等差数列、Si+3，Si，Si+6成等差数列、Si+3，Si+6，Si成等差数列这三种情况，分别求出公比q的值．
【解析】
（1）令m=1，Sn-a1=qSn-1，Sn+1-a1=qSn，两式相减得：an+1=qan（n≥2），
令n=1，a2=qa1，所以数列{an}是等比数列，
（2）不妨设公差为3的等差数列为 i，i+3，i+6，若Si，Si+3，Si+6成等差数列，
则 ai+1+ai+2+ai+3=ai+4+ai+5+ai+6=（ ai+1+ai+2+ai+3 ）q3，
即 1=q3，解得 q=1．
若Si+3，Si，Si+6成等差数列，则-（ ai+1+ai+2+ai+3 ）=（ ai+1+ai+2+ai+3+ai+4+ai+5+ai+6 ），
∴2（ ai+1+ai+2+ai+3 ）+（ ai+1+ai+2+ai+3 ）q3=0，即 2+q3=0，解得 ．
若Si+3，Si+6，Si成等差数列，则有 （ ai+4+ai+5+ai+6）=-（ ai+1+ai+2+ai+3+ai+4+ai+5+ai+6 ），
∴2（ ai+1+ai+2+ai+3 ）q3+（ ai+1+ai+2+ai+3 ）=0，∴2q3+1=0，解得．
综上可得，q的值等于1，或等于，或等于．