Question

设a，b∈R⁺，a+b=1．
（1）证明：ab+≥4+=4；
（2）探索、猜想，将结果填在括号内；
a²b²+≥（______）；
a³b³+≥（______）；
（3）由（1）（2）你能归纳出更一般的结论吗？请证明你得出的结论．

Answer

（1）先利用基本不等式求出ab的范围，通过将ab换元，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，证出不等式．
（2）由（1）的证明过程归纳出两个不等式
（3）有（1）（2）三个不等式归纳猜测出一般的不等式，类比（1）的证明，将anbn换元，通过导数求出函数的最小值，证出不等式．
（1）证明：∵a+b=1
∴
令ab=t则t∈（0，]
∴ab+=t+
令y=t+

∴单调递减
∴当t=时，有最小值4+=
故
（2），，
由（1）归纳猜测，
（3）
证明：令anbn=m由（1）知，m
令y==
由（1）知当m=时，函数有最小值
∴