Question

如图，点P是单位圆在第一象限上的任意一点，点A（-1，0），点B（0，-1），PA与y轴于点N，PB与x轴交于点M，设，（x，y∈R），P（cosθ，sinθ）．
（1）求点M、点N的坐标（用θ表示）；
（2）求x+y的取值范围．

Answer

（1）由题意可设N（0，t），由P、N、A三点共线，设，利用向量的坐标表示可有1=λ（cosθ+1），t=λsinθ，可求M，N的坐标
（2）由代入可得：，，联立可求x+y，结合θ的范围及正弦函数的性质可求
【解析】
（1）因为PA与y轴交与于点N，可设N（0，t），
由P、N、A三点共线，设，λ∈R①
又A（-1，0），P（cosθ，sinθ），所以，，代入①，
有1=λ（cosθ+1），t=λsinθ，
因为点P是单位圆在第一象限上的任意一点，所以cosθ＞0，sinθ＞0，且，
所以，此时，…4分
同理．                             …7分
说明：可以用直线方程或比例等其他方法求解
（2）由（1）知，，，…9分
代入，得：，整理得sinθ•x+（1+sinθ）y=1+sinθ②，整理得（1+cosθ）x+cosθ•y=1+cosθ③
②+③，解得：，…12分
由，知，
所以，
即，故x+y的取值范围为．   …15分
说明：可以解得