Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且2nS_n=（n+1）a_n，n∈N^*
（1）求a_n与S_n的表达式；
（2）如果∃k∈N^*，使得∃k∈N^*|a_k+a_k+1|•|S_k+S_k+1|∈[2012-m，2012+m]成立，求正数m的最小值．

Answer

（1）先根据2nSn=（n+1）an：；进而向前递推得到；即可求出，进而得到an与Sn的表达式；
（2）先根据第一问的结论得到|ak+ak+1|•|Sk+Sk+1|=（k+1）（2k+1）；再结合|ak+ak+1|•|Sk+Sk+1|∈[2012-m，2012+m]，让k取特殊值，检验即可得到结论．
解（1）由2nSn=（n+1）an，知
当n≥2时，2nSn=（n+1）（Sn-Sn-1），整理得：
所以．
而S1=a1=1，
所以，
当n=1时，上式也等于1，所以
此时
（2）由（1）知|ak+ak+1|=|（-1）k-1k2+（-1）k（k+1）2|=2k+1，
由|ak+ak+1|•|Sk+Sk+1|∈[2012-m，2012+m]，知（k+1）（2k+1）∈[2012-m，2012+m]，
要使得正整数m取得最小值，则必须（k+1）（2k+1）充分靠近2012，
而（k+1）（2k+1）随着正整数k的增大而增大，
当k=30时，（k+1）（2k+1）=1891＜2012，
当k=31时，（k+1）（2k+1）=2016＞2012，
所以2012+m≥2016，m≥42012-m≤1891，m≥121，
综上，正整数m的最小值为4