Question

对于在[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[a，b]上是非接近的．现在有两个函数f（x）=log_t（x-3t）与g（x）=log_t（）（t＞0且t≠1），现给定区间[t+2，t+3]．
（1）若t=，判断f（x）与g（x）是否在给定区间上接近；
（2）若f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上都有意义，求t的取值范围；
（3）讨论f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是否是接近的．

Answer

（1）当时，f（x）-g（x）=logt[（x-）（x-）]=考查函数h（x）=
在上的值域，即可
（2）由题意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0可求
（3）利用反证法：假设f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的，由|f（x）-g（x）|=|logt（x2-4tx+3t2）|≤1可得-1≤logt（x2-4tx+3t2）≤1，考查函数G（x）=logt（x2-4tx+3t2在[t+2，t+3]上的单调性，从而可求G（x）max=logt（4-4t），G（x）min=logt（9-6t），则有0＜t＜1logt（4-4t）≤1logt（9-6t）≥-1，可求
【解析】
（1）当时，f（x）-g（x）=logt[（x-）（x-）]=
令h（x）=
当时，h（x）∈[log6，-1]
即|f（x）-g（x）|≥1，
f（x）与g（x）是否在给定区间上是非接近的
（2）由题意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0
∴0＜t＜1                                                
（3）∵|f（x）-g（x）|=|logt（x2-4tx+3t2）|
假设f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的，
则有|logt（x2-4tx+3t2）|≤1∴-1≤logt（x2-4tx+3t2）≤1    
令G（x）=logt（x2-4tx+3t2），当∴0＜t＜1时，[t+2，t+3]在x=2t的右侧，
即G（x）=logt（x2-4tx+3t2），在[t+2，t+3]上为减函数，
∴G（x）max=logt（4-4t），
∴G（x）min=logt（9-6t）
所以由（*）式可得{0＜t＜1logt（4-4t）≤1logt（9-6t）≥-1，解得
0＜t≤
因此，当0＜t≤时，f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的；当t＞时，
f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是非接近的．…（14分）