Question

在锐角△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1．
（1）求∠B的值；
（2）若b=3，求a+c的最大值．

Answer

（1）利用二倍角公式对sin22B+sin2BsinB+cos2B=1进行化简，最后求得cosB，进而求得B．
（2）根据余弦定理及B的值，求得a，b，c的关系式b2=（a+c）2-3ac，根据，进而求出（a+c）的最大值．
【解析】
（1）∵sin22B+sin2BsinB+cos2B=1，
∴4sin2Bcos2B+2sin2BcosB-2sin2B=0，
即2sin2B（2cosB-1）（cosB+1）=0．
又△ABC为锐角三角形，∴；
（2）由（1）知，
∴，

∴（a+c）2≤4b2=36，可知a+c的最大值为6．