Question

已知函数在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设，若在[1，e]上至少存在一个x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立，求m的取值范围．

Answer

（1）由题意可知．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，结合θ∈（0，π），可以得到θ的值．
（2）由题设条件知．mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知，由此可知m的取值范围．
（3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），．由此入手可以得到m的取值范围是．
【解析】
（1）由题意，≥0在[1，+∞）上恒成立，即．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=．
∴．
∵f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，
∴mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2-2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即，
而，（）max=1，∴m≥1．mx2-2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x，即
在[1，+∞）恒成立，而∈（0，1]，m≤0．
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），．
当m≤0时，x∈[1，e]，，，
所以在[1，e]上不存在一个x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立．
当m＞0时，．
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx2+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，，只要，
解得．
故m的取值范围是．