Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l的高调函数，如果定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是    ，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是    ．

Answer

由题意可知，（1）当x≥-1时，x+m≥m-1≥-1，于是有m≥0，而m≠0，从而m＞0．由f（x+l）≥f（x）即可求得m的范围；（2）依题意可知，|x+8-a2|-a2≥|x-a2|-a2，进一步整理可得a2≤x+4，（x≥0），结合恒成立问题可求得实数a的取值范围，当x≤0时，-x≥0，同理可求a2≤（4-x）min=4；从而可得答案．
【解析】
（1）∵定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上的m高调函数，
∴当x≥-1时，x+m≥m-1≥-1，
∴m≥0，而m≠0，
∴m＞0．
又函数f（x）=x2为[-1，+∞）上的m高调函数，
∴f（x+m）≥f（x），即（x+m）2≥x2，
∴2mx+m2≥0，又m＞0，
∴m≥-2x（x≥-1）恒成立，
∴m≥（-2x）max，由x≥-1可得-x≤1，-2x≤2，
∴（-2x）max=2，
∴m≥2．
故答案为：m≥2．
（2）∵当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，且f（x）为R上的8高调函数，
∴f（x+8）≥f（x），
∴|x+8-a2|-a2≥|x-a2|-a2，
∴|x+8-a2|≥|x-a2|，即[（x-a2）+8]2≥（x-a2）2，
∴16（x-a2）+64≥0，
∴a2≤x+4，
∴a2≤（x+4）min=4；
当x≤0时，-x≥0，同理可求，a2≤（4-x）min=4；
∴-2≤a≤2．
故答案为：-2≤a≤2．