Question

设f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（I）求证：函数f（x）与g（x）的图象有两个交点；
（Ⅱ）设函数f（x）与g（x）的图象的两个交点A、B在x轴上的射影为A₁、B₁，求|A₁B₁|的取值范围．

Answer

（I）根据f（1）=0，得出a，b，c的关系，再由f（x）=g（x），两边移项，构成一个一元二次方程，用△来进行判断；
（ II）已知函数f（x）与g（x）的图象的两个交点A、B，由（1）得出两根，根据韦达定理，进行求解；
【解析】
（I）∵f（1）=0
∴a+b+c=0
∵a＞b＞c
∴a＞0，c＜0
由ax2+bx+c=ax+b得ax2+（b-a）x+c-b=0，
△=（b-a）2-4a（c-b）=（-a-c-a）2-4a（c+a+c）=c2-4ac
∵a＞0，c＜0
∴△＞0所以函数f（x）与g（x）的图象有两个交点．
（II）由已知方程ax2+（b-a）x+c-b=0，两根为x1，x2，
，

由a+b+c=0，a＞b＞c得a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
于是得到，，
∴
所以，|A1B1|的取值范围．