Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（I）若数列{b_n}满足：，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）设c_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求使（n∈N^*）恒成立的实数k的范围．

Answer

（I）先根据2a1+3a2=1，a32=9a2a6求出等比数列的通项；进而求出数列{bn}的通项，最后集合分组求和即可得到数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅱ）先求出cn得表达式，再利用裂项求和求出Tn；进而把（n∈N*）恒成立转化为k≥恒成立，最后求出不等式右边的最大值即可．
【解析】
（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由=9a2a6得=9
所以q2=．
由条件可知q＞0，故q=．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．
故数列{an}的通项式为an=
∴bn=3n+ln=3n-nln3．
所以Sn=-ln3．
（Ⅱ）∵Cn=log3+log3a2+…+log3an，
=-（1+2+…+n）=-
故=-=-2（-），
Tn=+…+=-2[（1-）+（-）+…+（-）]=-
所以数列{}的前n项和为-．
（n∈N*）化简得k≥恒成立
设dn=，则dn+1-dn==．
当n≥5，dn+1≤dn，{dn}为单调递减数列，1≤n＜5，dn+1＞dn，{dn}为单调递增数列
当n≥5，cn+1≤cn，{cn}为单调递减数列，当1≤n＜5，cn+1＞cn，{cn}为单调递增数列
=d4＜d5=，所以，n=5时，dn取得最大值为
所以，使（n∈N*）恒成立的实数k≥．