Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|+1，（x∈R）．
（1）画出a=0时函数f（x）的图象；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer

（1）判定函数的奇偶性，然后根据奇偶性图象的性质画出图象即可；
（2）讨论x去掉绝对值，然后利用二次函数的性质，讨论对称轴可求出函数的最小值即可．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=x2+|x|+1，是偶函数，图象关于y轴对称

（2）①当x＜a时，f（x）=x2-x+a+1=（x-）2+a+
若a≤，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1；
若a＞，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（）=a+
②当x≥a时，f（x）=x2+x-a+1=（x+）2-a+
若a≤-，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（-）=-a+且f（-）≤f（a）
若a＞-，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a2+1
综上，当a≤-时，函数f（x）的最小值为-a+；
当-＜a≤，函数f（x）的最小值为a2+1
当a＞时，函数f （x）的最小值为+a．