Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足，证明：{b_n}是等差数列；
（3）证明：．

Answer

（1）由题设知an+1+1=2（an+1），所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n-1．
（2）由题设知，由此能推导出nbn-2=（n-1）bn+1，从而得到2bn+1=bn+bn-1，所以数列{bn}是等差数列．
（3）设，则=，由此能够证明出．
【解析】
（1）∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1）（2分）
故数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（3分）
∴an+1=2n，an=2n-1（4分）

（2）∵，
∴（5分）
2（b1+b2++bn）-2n=nbn①2（b1+b2++bn+bn+1）-2（n+1）=（n+1）bn+1②
②-①得2bn+1-2=（n+1）bn+1-nbn，
即nbn-2=（n-1）bn+1③（8分）
∴（n+1）bn+1-2=nbn+2④
④-③得2nbn+1=nbn+nbn-1，即2bn+1=bn+bn-1（9分）
所以数列{bn}是等差数列．

（3）∵（11分）
设，
则
=（13分）
（14分）