Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，M为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）证明：平面PAD⊥平面PAC．

Answer

（Ⅰ）证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，证明MO∥PB即可；
（Ⅱ）证明AD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理，证明AD⊥AC，AD⊥PO即可；
（Ⅲ）根据AD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理，可证平面PAD⊥平面PAC．
证明：（Ⅰ）连MO，BD，BD∩AC=O
∵O为AC中点，M为PD中点
∴MO∥PB
∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM
∴PB∥平面ACM；
（Ⅱ）∵∠ADC=45°，AD=AC，∴AD⊥AC，
∵PO⊥平面ABCD，∴AD⊥PO，
∵PO∩AC=O
∴AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）∵AD⊥平面PAC，AD⊂平面PAD
∴平面PAD⊥平面PAC．