Question

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，现有命题：“若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0”．
（1）写出其逆命题，判断其真假，并说明理由；
（2）写出其否命题，判断其真假，并说明理由．

Answer

（1）将命题的条件和结论互换，可得逆命题．再用函数f（x）的单调性，可证出f（a）≥f（-b）且f（b）≥f（-a），相加即得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）；
（2）将命题的条件否定结论也否定，可得否命题．再用反证法结合（1）的正确性，可得它也是一个真命题．
【解析】
（1）逆命题：若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
这是一个真命题，证明如下
∵函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，且a+b≥0得a≥-b，
∴f（a）≥f（-b），同理可得f（b）≥f（-a）
将以上两个不等式相加，可得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
（2）否命题：若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），则a+b＜0．
这是一个真命题，证明如下
假设结论不成立，即a+b≥0，
则由（1）可得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），与条件f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）矛盾．
所以结论a+b＜0成立，否命题也是一个真命题．