Question

已知双曲线和定点．
（1）求过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线方程；
（2）双曲线C上是否存在A，B两点，使得成立？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）当斜率不存在时，x=2符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y-=k（x-2），即y=kx-2k+，代入双曲线方程，消元可得（4k2-1）x2-k（16k-4）x+（16k2-8k+5）=0，再分类讨论，即可求得结论；
（2）设存在A（x1，y1），B（x2，y2）两点符合题意，根据，可得为中点，利用韦达定理，可求k=1，此时方程的△＜0．
【解析】
（1）当斜率不存在时，x=2符合题意，
当斜率存在时，设直线方程为y-=k（x-2），即y=kx-2k+
代入双曲线方程，消元可得（4k2-1）x2-k（16k-4）x+（16k2-8k+5）=0
当4k2-1=0，即k=时，方程有唯一解，满足题意，此时直线方程为：x-2y-1=0，x+2y-3=0
当4k2-1≠0，即k≠时，令△=0，可得k=，此时直线方程为：5x-8y-6=0
故过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线方程为x-2y-1=0，x+2y-3=0，5x-8y-6=0，x=2
（2）设存在A（x1，y1），B（x2，y2）两点符合题意，
∵，∴为中点，
∴x1+x2=4，y1+y2=1
同（1）知x1，x2是方程（4k2-1）x2-k（16k-4）x+（16k2-8k+5）=0的两根，
∴，
∴，
∴k=1
此时方程为3x2-12x+13=0，△＜0，故k=1不符合题意，所以符合题意的直线AB不存在．