Question

记函数．
（1）试求函数f（x）的定义域和值域；
（2）已知函数h（x）=f（2^x），且函数y=h（x）为奇函数，求实数a的值；
（3）记函数g（x）=h（x-1）+1，试计算g（-1）+g（0）+g（1）+g（2）+g（3）的值．

Answer

（1）将f（x）=分离出常数，得到f（x）=，即可求得函数f（x）的定义域和值域；
（2）由h（x）=f（2x）=，利用h（-x）=-h（x）即可求得a的值；
（3）由题意可得y=g（x）的图象关于点（1，1）对称，于是对任意的x1，x2∈R，都有当x1+x2=2时，g（x1）+g（x2）=2，从而可得答案．
.【解析】
（1）∵f（x）===，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠-，x∈R}；值域为{y|y≠，y∈R}，
 （2）h（x）=f（2x）=，
因为，y=h（x）为奇函数，所以h（-x）=-h（x），
即=-=，
整理得22x-a=a•22x-1对任意x成立，所以a=1．
 （3）因为g（x）=h（x-1）+1，所以y=g（x）的图象是由奇函数y=h（x）的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，
即y=g（x）的图象关于点（1，1）对称，从而对任意的x1，x2∈R，都有当x1+x2=2时，g（x1）+g（x2）=2，
∴g（-1）+g（3）=g（0）+g（2）=2，又g（1）=1，
∴g（-1）+g（0）+g（1）+g（2）+g（3）=5．