Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有成立．
（1）若f（x）满足f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），求证：f（x₁+x₂）=c；
（2）求f（2）的值；
（3）若f（-2）=0，求f（x）的表达式．

Answer

（1）利用f（x1）=f（x2）（x1≠x2），通过对称轴即可证明f（x1+x2）=c；
（2）直接利用函数恒成立，求出f（2）的值；
（3）通过f（-2）=0，列出方程组，利用f（x）≥x恒成立，通过判别式求出a，b，c，即可求f（x）的表达式
【解析】
（1）f（x1）=f（x2）（x1≠x2），得对称轴为，
即
所以=c．
因为二次函数的对称轴为，f（x1）=f（x2），
得f（x1+x2）=f（0）=c
 （2）由条件知 f（2）=4a+2b+c≥2恒成立
又∵取x=2时，与恒成立，
∴f（2）=2
 （3）∵，
∴4a+c=2b=1，∴．
又 f（x）≥x恒成立，即ax2+（b-1）x+c≥0恒成立．
∴，
解出：，
∴