Question

（理）已知以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为    ．

Answer

先设椭圆方程与直线方程联立，根据判别式等于0求得m和n的关系式，同时椭圆的焦点坐标求得半焦距得到m和n的另一个关系式，两个关系式联立方程即可求得m和n，则椭圆的长轴可得．
【解析】
设椭圆方程为mx2+ny2=1（m≠n＞0），
直线x+y+4=0代入椭圆方程，消x得：（m+n）y2+8ny+16n-1=0，
△=64n2-4（16n-1）（m+n）=0，
整理，得m+n=16mn
又c=2，由焦点在x轴上，
所以-=4，联立解得：m=，n=
故长轴长为2；
故答案为．