Question

（文）椭圆上存在一点P，使得点P到两焦点距离比为1：2，则椭圆离心率取值范围为    ．

Answer

设椭圆上点P到两焦点F1、F2距离比为1：2，则PF1=r，PF2=2r，可得2a=PF1+PF2=3r．再由椭圆上动点P满足|PF1-PF2|≤2c，可得a≤6c，最后结合椭圆的离心率满足0＜e＜1，得到该椭圆的离心率e的取值范围．
【解析】
设椭圆的两焦点分别为F1、F2，
∵点P到两焦点F1、F2距离比为1：2，
∴设PF1=r，则PF2=2r，可得2a=PF1+PF2=3r，r=a
∵|PF1-PF2|=r≤2c，（当P点在F2F1延长线上时，取等号）
∴a≤2c，所以椭圆离心率e=
又∵椭圆的离心率满足0＜e＜1，
∴该椭圆的离心率e∈
故答案为：