Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A，B，C为抛物线上三点．若，且．
（1）求抛物线方程；
（2）（文）若OA⊥OB，直线AB与x轴交于一点（m，0），求m．
（2）（理）若以为AB为直径的圆经过坐标原点O，则求证直线AB经过一定点，并求出定点坐标．

Answer

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据根据抛物线的定义得：…①；根据向量的坐标运算得：…②，联解①②可得抛物线方程为：y2=4x；
（2）（文）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据OA⊥OB，得=x1x2+y1y2=0…③．再由直线y=k（x-m）与抛物线方程消去x得：ky2-4y-4km=0，结合韦达定理得：y1y2=-4m，结合抛物线方程求得x1x2=（y1y2）2=m2，将它代入③，得m2+（-4m）=0，所以m=0（舍）或m=4．
（理）设直线AB方程为：y-y1=k（x-x1），其中斜率k==，直线AB方程化为：y-y1=（x-x1）．结合以为AB为直径的圆经过坐标原点O，
可以证明出x1x2+y1y2=0…④，将x1=y12，x2=y22，代入④得：（y1y2）2+y1y2=0，从而y1y2=-16，可得y2=-．最后将y2=-和代入直线AB方程，化简可得：4x-（y1+）y-16=0，再令y=0得x=4，因此直线AB经过定点（4，0）．
【解析】
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
∵点A（x1，y1）在抛物线y2=2px上，
∴根据抛物线的定义得，同理可得，
∵，
∴…①
∵，∴=（，y1），=（，y2），=（，y3），
又∵，
∴…②
联解①②得：P=2    
因此，抛物线方程为：y2=4x
（2）（文）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0…③
设过点m的直线方程为：y=k（x-m），
由，消去x得：ky2-4y-4km=0
由韦达定理得：y1y2=-4m，所以x1x2=•=（y1y2）2=m2，
将上式代入③，得m2+（-4m）=0，所以m=0（舍）或m=4．
（2）（理）设直线AB方程为：y-y1=k（x-x1），
其中斜率k===
∴直线AB方程化为：y-y1=（x-x1），
∵以为AB为直径的圆经过坐标原点O，
∴∠AOB=90°，可得向量，所以=x1x2+y1y2=0…④
∵A（x1，y1），B（x2，y2）都在抛物线y2=4x上，
∴x1=y12，x2=y22，代入④得：（y1y2）2+y1y2=0
∴y1y2=-16（舍y1y2=0），可得y2=-，
将y2=-和代入直线AB方程，化简可得：4x-（y1+）y-16=0
令y=0，得x=4，因此直线AB经过定点（4，0）．