Question

已知F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，线段PF₁与y轴的交点M满足．
（1）求椭圆的标准方程；   
（2）（文）过F₂的直线l交椭圆于A，B两点，且，求直线l方程．
（2）（理）过F₁作不与x轴重合的直线l，l与圆x²+y²=a²+b²相交于A、B．并与椭圆相交于C、D．当，且时，求△F₂CD的面积S的取值范围．

Answer

（1）利用点P（1，）在椭圆上，线段PF1与y轴的交点M满足，可得方程，a2-b2=1，由此可求椭圆的标准方程；
（2）（文）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得：x1=3-2x2，y1=-2y2，由此可求直线的方程；
（2）（理）设l方程为x=ty-1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（t2+1）y2-2ty-2=0，利用=-2，及 ，可得t2∈[，]；由，得（t2+2）y2-2ty-1=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），从而可得S△F1CD=|F1F2|y3-y4|=|y3-y4|，换元，确定S的单调性，即可得到结论
【解析】
（1）∵点P（1，）在椭圆上，线段PF1与y轴的交点M满足，
∴，a2-b2=1
∴a2=2，b2=1
∴椭圆的标准方程为；
．（2）（文）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得：x1=3-2x2，y1=-2y2
由解得：
∴
∴直线的方程为；
（2）（理）设l方程为x=ty-1，A（x1，y1），B（x2，y2）
由得（t2+1）y2-2ty-2=0
=（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=（ty1-2）（ty2-2）+y1y2=（t2+1）y1y2-2t（y1+y2）+4
=-2，
由 ，得t2∈[，]，
由，得（t2+2）y2-2ty-1=0
设C（x3，y3），D（x4，y4）．
则S△F1CD=|F1F2|y3-y4|=|y3-y4|=
设m=t2+1，则S=，m∈
S关于m在上是减函数．所以S∈．