Question

设函数f（x）的定义域为R，若f（x）≤|x|对一切实数x均成立，则称函数f（x）为Ω函数．
求证：若a＞1，则函数f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函数．

Answer

由题意可知f（x）的定义域为R，由，知．令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|当x≥0时，利用导数的性质得到g（x）在[0，+∞）上为减函数；当x＜0时，利用导数的性质得到g（x）在（-∞，0）为增函数．故g（x）在x=0处取得极大值，同时也为最大值．由此能够证明函数f（x）=ln（x2+a）-lna是Ω函数．
证明：由题意可知f（x）的定义域为R，
∵，
∴
令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|
∴当x≥0时，．
∴g（x）在[0，+∞）上为减函数；
当x＜0时，
∴g（x）在（-∞，0）为增函数．∴g（x）在x=0处取得极大值，同时也为最大值．
∴g（x）≤g（0）=lna-lna=0．
即|f（x）|-|x|≤0在x∈R恒成立，即|f（x）|≤|x|在x∈R恒成立．
∴函数f（x）=ln（x2+a）-lna是Ω函数．