Question

已知f（x）=log_a（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）试判别函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求使f（x）＜0的x的取值范围．

Answer

（1）由函数的解析式可得 ＞0，即 ＜0，即 （x+1）（x-1）＜0，由此解得函数f（x）的定义域．
（2）由于函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．
（3）f（x）＜0，即 loga＜0，当 0＜a＜1时，当 0＜a＜1时，有 ＞1，即 ＜0，即2x（x-1）＜0，由此求得的x的取值范围．
当a＞1时，有 1＞＞0，故 ，由此求出x的取值范围．
【解析】
（1）由f（x）=loga（a＞0，a≠1）可得 ＞0，即 ＜0，即 （x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，
故函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）由于函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（-x）=loga=loga =-loga =-f（x），
故函数f（x）是奇函数．
（3）f（x）＜0，即 loga＜0，当 0＜a＜1时，有 ＞1，即 ＜0，即2x（x-1）＜0，解得-1＜x＜1．
当a＞1时，有 1＞＞0，∴，即 ，即 ，解得-1＜x＜0．
综上可得，当 0＜a＜1时，使f（x）＜0的x的取值范围为（-1，1）；当a＞1时，使f（x）＜0的x的取值范围为（-1，0）．