Question

等差数列{ a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记S_n为{a_n}的前n项和，令b_n=a_na_n+1，数列{}的前n项和为T_n．
（1）求a_n和S_n；
（2）求证：T_n＜；
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）设数列{an}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12，解得a1=1，d=3，由此能求出an和Sn．
（2）由bn=anan+1=（3n-2）（3n+1），知=，由此能够证明Tn＜．
（3）由（2）知，，故，，，由T1，Tm，Tn成等比数列，能够推导出存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，
由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12，
解得a1=1，d=3，
∴an=3n-2，
=．
（2）∵bn=anan+1=（3n-2）（3n+1），
∴=，

=．
（3）由（2）知，，∴，，，
∵T1，Tm，Tn成等比数列，
∴=，
即，
当m=1时，7=，n=1，不合题意；
当m=2时，，n=16，符合题意；
当m=3时，，n无正整数解；
当m=4时，，n无正整数解；
当m=5时，，n无正整数解；
当m=6时，，n无正整数解；
当m≥7时，m2-6m-1=（m-3）2-10＞0，
则，而，
所以，此时不存在正整数m，n，且7＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．