Question

已知点A、B、C是椭圆M：上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且，．
（I）求椭圆M的方程；
（II）过点且不垂直于坐标轴的直线l与椭圆M交于两点E、F，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求直线l的方程．

Answer

（I）根据点A的坐标为，可知A是长轴端点，利用且BC过椭圆M的中心，可确定C点坐标代入方程，即可求得椭圆方程；
（II）设直线l的方程为y=kx+，由，消去y可得（1+3k2）x2+9kx-=0，求出EF的中点N的坐标为（-，），利用，可得kDN•k=-1，从而求出直线的斜率，即可求得直线l的方程．
【解析】
（I）由点A是椭圆M：上的点，点A的坐标为，可知：A是长轴端点故：a=
又且BC过椭圆M的中心（0，0），∴|BC|=2|0C|=2|0B|，|AC|=|OC|，
∵，∴AC⊥BC，∴∠AOC=，
∵|OA|=，∴C点坐标为（，）
代入方程得：
∴b2=4，b=2，
∴椭圆方程为：
（II）设直线l的方程为y=kx+，E（x1，y1），F（x2，y2）
由，消去y可得（1+3k2）x2+9kx-=0
∴x1+x2=-，∴y1+y2=
∴EF的中点N的坐标为（-，）
∵D（0，-2）
∴
∵
∴kDN•k=-1
∴
∴
∴
∴直线l的方程为y=x+．