Question

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数的图象也相切．
（I）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求函数h（x）的最大值．

Answer

（I）求出直线的l的斜率，然后根据点斜式写出直线l的方程，在联立方程直线l与函的图象也相切，根据△=0，求出m的值；
（Ⅱ）根据（I）可得h（x）=f（x+1）-g'（x），对其求导，令h′（x）=0，先求出极值，然后再求最值．
【解析】
（I）∵直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），
∴f′（x）=，∴f（x）|x=1=1，及直线l的斜率为1，
∴直线l的直线为：y-0=1×（x-1），
∴直线l的方程为：x-y-1=0；
∵直线l与函数的图象也相切，
∴，整理方程得：x2+2（m-1）x+9=0，
∴△=4（m-1）2-4×9=0，
∴m=4或-2，
又∵m＜0，
∴m=-2；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2，（x＞-1）
∴h′（x）=-1=，
当-1＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
当x≥0时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
函数h（x）在x=0处取极大值，也是最大值，
hmax（x）=h（0）=2．