Question

已知定义在R上的函数f（x）=2^x+，a为常数，若f（x）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer

（1）由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），即 2x+=+a•2x，由此求得a的值．
（2）函数f（x）在（0，+∞）内单调增，任取 0＜x1＜x2，证明f（x1）-f（x2）＜0，从而证明结论．
（3）函数 f（x）=2x+，令 t=2x＞0，则 y=t+，利用基本不等式求出它的值域．
【解析】
（1）由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），即 2x+=+a•2x ，…2分
从而a=1．     …4分   
f（x）=2x+． …5分
（2）函数f（x）在（0，+∞）内单调增．
证明：任取 0＜x1＜x2，…6分 
f（x1）-f（x2）=+--=（- ）+=（- ）（1-）=（- ）（ ），…..7分
由条件-∞＜x1＜x2，可得（- ）＜0，）（ ）＞0，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故函数f（x）在（0，+∞）内单调增．…..10分
（3）∵函数 f（x）=2x+，令 t=2x＞0，…..11分
则 y=t+，（ t＞0）…..12分
由基本不等式可得y=t+≥2，当且仅当t=1时，等号成立，…..14分
所以函数的值域为[2，+∞）．…..15分．