如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，上下顶点分别为A...

如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆 manfen5.com 满分网

（a＞b＞0）的右焦点为F，上下顶点分别为A，B，直线BF交椭圆于C点，且 manfen5.com 满分网

．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若P点是椭圆上弧AC上动点，四边形APCB面积的最小值为 manfen5.com 满分网

，求椭圆的方程．

（1）设点F（c，0），B（0，-b），C（x，y）由=3，可求得C（c，）代入椭圆方程得：+=1，从而可求得椭圆的离心率；（2）设点P（x，y），点P到直线AC距离为d=，可求得（x+2y）2=x2+4y2+4xy≤x2+4y2+2（x2+y2）=3（x2+2y2）=6b2，从而可得dmax=b，由Smax==，可求得b2=1，从而可求得椭圆方程．【解析】（1）设点F（c，0），B（0，-b），C（x，y）由=3，得：（c，b）=3（x-c，y）解得：C（c，）代入椭圆方程得：+=1， ∴e==，a2=2c2，b=c；（2）由（1）椭圆方程可写为+=1，点C（b，），直线AC：x+2y-2b=0，，AC=b，设点P（x，y）：x2+2y2=2b2，点P到直线AC距离为d=，（x+2y）2=x2+4y2+4xy≤x2+4y2+2（x2+y2）=3（x2+2y2）=6b2， ∴dmax=b， ∴由Smax==，b2=1，椭圆方程为：x2+2y2=2 注：本题也可以求出平行于直线AC的切线：，得到点到直线AC的最大距离解题．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等