Question

已知圆C方程为：（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²（m≠0）
（1）求证：当m变化时，圆C的圆心在一定直线上；（2）求（1）中一系列圆的公切线的方程．

Answer

（1）根据圆的标准方程，可写出圆心坐标，进而消去参数，即可证明；
（2）分斜率存在与不存在进行讨论，利用直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径长求解即可．
证明：（1）由消去m得a-2b+1=0．故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上．
【解析】
（2）设公切线方程为y=kx+b，则由直线与圆相切有
2|m|=，对一切m≠0成立．
即（-4k-3）m2+2（2k-1）（k+b-1）m+（k+b-1）2=0对一切m≠0恒成立
所以即
当k不存在时，圆心到直线为x=1的距离为2|m|，即半径，故x=1也是一系列圆的公切线．
所以公切线方程y=和x=1．