Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．现有四个函数：①f（x）=e^x；②f（x）=x³；③；④f（x）=lnx．其中存在“稳定区间”的函数序号有    ．

Answer

根据“稳定区间”的定义，函数存在“稳定区间”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．
【解析】
①对于函数f（x）=ex，在区间”[a，b]，是增函数，故有，即方程ex=x有两个解，这与y=ex和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”．
②对于f（x）=x3存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x3∈[0，1]．故②存在“稳定区间”．
③对于f（x）=sinπx，存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=sinx∈[0，1]．故③存在“稳定区间”．
④对于 f（x）=lnx，若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有lna=a，lnb=b，即方程lnx=x 有两个解，这与y=lnx 和 y=x的图象没有公共点相矛盾，故④不存在“稳定区间”．
故答案为②③