Question

已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定义使a₁•a₂•a₃…a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做企盼数，则区间[1，2011]内所有的企盼数的和为（ ）
A．1001
B．2030
C．2026
D．2048

Answer

先利用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…ak化为log2（k+2）；然后根据a1•a2•a3…ak为整数，可得k=2n-2；最后由等比数列前n项和公式解决问题．
【解析】
an=logn+1（n+2）=，（n∈N*），
∴a1•a2•a3…ak==log2（k+2），
又∵a1•a2•a3…ak为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2．
∴k∈[1，2011]内所有的幸运数的和
M=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）
=-2×9=2026，
故选C．