Question

已知A₁，A₂为双曲线C：的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴，且与双曲线交于P，Q（P点位于x轴的上方），直线A₁P与直线A₂Q相交于点M，
（1）求出动点M（2）的轨迹方程
（2）设点N（-2，0），过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A，B两点，且满足，其中，求出直线AB斜率的取值范围．

Answer

（1）设P（x，y），Q（x，-y），从而可得直线A1P的方程为：直线A2Q的方程为：由两式得到：，结合，可得M的轨迹方程
（2），∴A，B，N三点共线，及点N的坐标为（-2，0）．可设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．，联立方程消去x得，即
根据条件可知及，又由，建立坐标之间的关系，结合函数的单调性进行求解即可
【解析】
（1）设P（x，y），Q（x，-y），
直线A1P的方程为：，（1）
直线A2Q的方程为：，（2）
将（1）×（2）得到：，又因为．
所以得到M的轨迹方程为：，（y≠0）
（2），∴A，B，N三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由消去x得，即
根据条件可知解得（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据韦达定理，得
又由得（x1+2，y1）=λ（x2+2，y2）
从而消去y2得消去
令则
由于所以∅（λ）是区间上的减函数，
从而，即，
，∴解得
而，∴
因此直线AB的斜率的取值范围是