Question

我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．
（I）求C（x）和f（x）的表达式；
（II）当陋热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．

Answer

（I）根据关系式：，无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元，可求C（x），利用f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，可求函数关系式；
（II）利用基本不等式，即可求得函数的最小值．
【解析】
（I）当x=0时，C=8，因为，所以k=40，故C…（3分）
∵f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和
∴．…（6分）
（II），…（9分）
当且仅当时取得最小值．…（11分）
即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元．…（12分）