Question

设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．
（1）求证：函数f（x）的图象关于原点成中心对称．
（2）a≥2是A∩B=Φ的什么条件（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．

Answer

（1）由-1＞0，可求得A=（-1，1），f（x）的定义域关于原点对称，利用奇函数的定义可判断f（-x）=-f（x）；
（2）由于B=[-1-a，1-a]，当a≥2时，-1-a≤-3，1-a≤-1，可证得A∩B=∅，反之，可取-a-1=2，求得a=-3，于是得到答案．
证明：（1）∵-1＞0，
∴＜0，…（1分）
∴-1＜x＜1…（3分）
∴A=（-1，1），
故f（x）的定义域关于原点对称…（4分）
又f（x）=lg，则 f（-x）=lg=lg=-lg，…（6分）
∴f（x）是奇函数．
即函数f（x）的图象关于原点成中心对称…（7分）
（2）∵B={x|x2+2ax-1+a2≤0}，
∴-1-a≤x≤1-a，即B=[-1-a，1-a]…（9分）
当a≥2时，-1-a≤-3，1-a≤-1，
由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，有A∩B=∅…（10分）
反之，若A∩B=∅，可取-a-1=2，则a=-3，a小于2…（11分）
所以，a≥2是A∩B=∅的充分非必要条件…（12分）