Question

已知定义在区间上的函数y=f（x）图象关于直线对称，当时，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的图象；
（2）求y=f（x）的解析式；
（3）若关于x的方程有解，将方程所有的解的和记为M，结合（1）中函数图象，求M的值．

Answer

（1）根据图象的对称性做出y=f（x）的图象．
（2）任取x∈[-π，]，则-x∈[，]，由题意得．再根据当时，f（x）=-sinx，
求出解析式．
（3）因为-∈（-1，-），f（x）=- 有4个根满足 x1＜x2＜＜x3＜x4，利用对称性求出M的值．
【解析】
（1）y=f（x）的图象如图所示．
（.4分）
（2）任取x∈[-π，]，则-x∈[，]，由于函数f（x）图象关于直线对称，
则．（6分）
又当时，f（x）=-sinx，则=-sin（-x）=-cosx，（8分）
即．（10分）
（3）因为-∈（-1，-），f（x）=- 有4个根满足 x1＜x2＜＜x3＜x4，（12分）
由对称性得，x1+x2=0，x3+x4=π，则M=x1+x2 +x3+x4=π．（14分）