Question

设函数f（x）=ln（x+a）+x²，
（1）若a=，解关于x不等式；
（2）证明：关于x的方程2x²+2ax+1=0有两相异解，且f（m）和f（n）分别是函数f（x）的极小值和极大值（m，n为该方程两根，且m＞n）．

Answer

（1）先确定函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可求得不等式的解集；
（2）依题意，f（x）的定义域为（-a，+∞），构造函数g（x）=2x2+2ax+1，利用判别式即可确定方程2x2+2ax+1=0有两相异解，再研究函数的单调性，从而可证f（m）为f（x）的极小值，f（n）为f（x）的极大值．
（1）【解析】
a=时，求导函数可得=．  （2分）
f（x）的定义域为（-，+∞）．      （3分）
当-＜x＜-1时，f'（x）＞0；当-1＜x＜时，f'（x）＜0；当x＞时，f'（x）＞0．
从而，f（x）在（-，-1），（，+∞）单调增加，在（-1，）单调减少．（5分）
∵，f（）=
∴不等式等价于
∴
∴0≤x＜ln22
即所求不等式的解集为{x|0≤x＜ln22}．（7分）
（2）证明：依题意，f（x）的定义域为（-a，+∞），---（8分）
令g（x）=2x2+2ax+1，因为g（-a）=1=g（0）＞0，g（x）的对称轴为x=-0.5a＞-a，
△=4a2-8a＞0（a2＞2），g（-a）=1＞0
∴g（x）在（-a，+∞）有两个零点．即方程2x2+2ax+1=0有两相异解------（11分）
由已知f（x）的定义域为{x|x＞-a}且---（11分），
若m，n（m＞n）方程2x2+2ax+1=0有两相异解，则f'（x）＞0的解集为（-a，n）∪（m，+∞）（∵a＞0）（12分）

x （-a，n） n （n，m） m （m，+∞）
y’ + - +
y 增 极大值 减 极小值 增

故f（m）为f（x）的极小值，f（n）为f（x）的极大值，（14分）