Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AA₁，M为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM⊥AB₁；
（Ⅱ）试在棱AC上确定一点N，使得AB₁∥平面BMN．

Answer

（Ⅰ）取A1B1的中点F，先利用△A1B1C1是正三角形，证得C1F⊥A1B1．⇒B1B⊥C1F．⇒ME⊥面BB1A1A；再利用在面BB1C1C中AB1⊥A1B，
就可得到AB1⊥平面BEM，进而证得BM⊥AB1；
（Ⅱ）找N为AC的三等分点，利用△CE1M∽△B1E1B，⇒AB1∥NE1⇒AB1∥平面BMN．
【解析】
（Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连接A1B，AB1交于点E，连接EF，C1F．
因为△A1B1C1是正三角形，
所以C1F⊥A1B1．
又ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以B1B⊥面A1B1C1，所以B1B⊥C1F．
所以有C1F⊥面BB1A1A．
⇒ME⊥面BB1A1A⇒ME⊥AB1，
又在面BB1C1C中AB1⊥A1B，
所以AB1⊥平面BEM，
所以BM⊥AB1；
（Ⅱ）N为AC的三等分点，CN：NA=1：2．
连接B1C，B1C∩BM=E1，
∵△CE1M∽△B1E1B，
∴==，
∴==，∴AB1∥NE1
又∵E1N⊂面BMN，AB1⊄面BMN
∴AB1∥平面BMN