Question

已知P为曲线E上的任意一点，F₁（-1，0），F₂（1，0），且|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．
（1）求曲线E的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△F₂F₁P的面积．

Answer

（1）因为|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，所以曲线E表示以F1、F2为焦点，长轴2a=4的椭圆，得曲线E的方程为；
（2）在△F2F1P中由余弦定理，得|PF1|2-|PF2|2+2|PF1|+4=0…①，又|PF1|+|PF2|=4，得|PF2|2=16-8|PF1|+|PF1|2…②，根据①、②联解，得|PF1|=，最后用正弦定理可得△F2F1P的面积．
【解析】
（1）∵F1（-1，0），F2（1，0），
∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4．
因此，曲线E表示以F1、F2为焦点，长轴2a=4的椭圆，c=1，b2=a2-c2=3
∴曲线E的方程为
（2）∵△F2F1P中，∠F2F1P=120°，F1F2=2
∴根据余弦定理，得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos120°，
化简得|PF1|2-|PF2|2+2|PF1|+4=0…①
又∵|PF1|+|PF2|=4，得∴②代入①，得|PF1|=
根据正弦定理，可得△F2F1P的面积S=|PF1||F1F2|sin120°=．