Question

在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=    ．

Answer

因为AB=2，BC=3，∠ABC=60°，所以=•cos120°=-3，再根据O为AD的中点，且=λ+μ，可得=2λ+2μ，从而=-6λ+18μ=0，得λ=3μ．接下来利用=-，结合与是共线向量，可算得λ=，代入上式得μ=，最终得到λ+μ的值为．
【解析】
∵AB=2，BC=3，∠ABC=60°，
∴=•cos120°=-3
∵O为AD的中点，=λ+μ，
∴=2=2λ+2μ，
可得=（2λ+2μ）•=2λ•+2μ2=-6λ+18μ
∵AD为BC边上的高，与互相垂直
∴=0，即-6λ+18μ=0，得λ=3μ…①
又∵=2λ+2μ，=-
∴=（2λ-1）+2μ，
而与是共线向量，可得2λ-1=0，所以λ=，再代入①，得μ=
∴λ+μ的值为
故答案为．