Question

设函数，x∈R．
（1）若ω=，求f（x）的最大值及相应的x的集合；
（2）若是f（x）的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f（x）的最小正周期．

Answer

（1）将f（x）的解析式第二项利用诱导公式化简，把ω的值代入，并利用两角和与差的正弦函数公式及 特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域求出f（x）的最大值，以及此时x的集合；
（2）由第一问确定的f（x）的解析式以及且x=是f（x）的一个零点，将x=代入f（x）解析式中化简，得到f（）=0，可得出-=kπ，k为整数，整理得到ω=8k+2，由ω的范围列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，由k为整数得到k=0，可得出ω=2，确定出函数f（x）解析式，即可求出函数的最小正周期．
【解析】
（1）f（x）=sinωx+sin（ωx-）=sinωx-cosωx，…（1分）
当ω=时，f（x）=sin-cos=sin（-），…（2分）
又-1≤sin（-）≤1，∴f（x）的最大值为，…（4分）
令-=2kπ+，k∈Z，解得：x=4kπ+，k∈Z，
则相应的x的集合为{x|x=4kπ+，k∈Z}；…（6分）
（2）∵f（x）=sin（-），且x=是f（x）的一个零点，
∴f（）=sin（-）=0，…（8分）
∴-=kπ，k∈Z，整理得：ω=8k+2，
又0＜ω＜10，∴0＜8k+2＜10，
解得：-＜k＜1，
又k∈Z，∴k=0，ω=2，…（10分）
∴f（x）=sin（2x-），
则f（x）的最小正周期为π．…（12分）