Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）λ≠-1，若h（x）=g（x）-λf（x）+1在x∈[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x，y）关于原点的对称点为P（x，y），利用函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，可求得对称点之间的坐标关系，利用f（x）=x2+2x，可求函数g（x）的解析式；
（2）h（x）=-（1+λ）x2+2（1-λ）x+1，其对称轴方程为，利用h（x）=g（x）-λf（x）+1在x∈[-1，1]上是增函数，可求实数λ的取值范围．
【解析】
（1）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x，y）关于原点的对称点为P（x，y），则
，即（2分）
∵点Q（x，y）在函数y=f（x）的图象上
∴-y=x2-2x，即y=-x2+2x，
故g（x）=-x2+2x（6分）
（2）h（x）=-（1+λ）x2+2（1-λ）x+1
其对称轴方程为．
ⅰ）当λ＜-1时，≤-1，解得λ＜-1
ⅱ）当λ＞-1时，，解得-1＜λ≤0．（12分）
综上，λ≤0且λ≠-1（13分）