Question

在数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=2a_n+2（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+2，求数列{b_n}的通项公式；
（2）{a_n}中是否存在不同的三项a_p，a_q，a_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，说明理由．

Answer

（1）、根据题中已知的两个式子联立便可求出bn+1与bn的关系，然后求出b1 的值便可求出数列{bn}的通项公式；
（2）、不存在，根据数列{bn}的通项公式可以求出{an}的通项公式，假设存在p，q，r满足题中条件，代入{an}的通项公式可得1+2r-p=2q-p+1，由于1+2r-p为奇数，而2q-p+1为偶数，故不存在满足条件的p，q，r．
【解析】
（1）bn+1=an+1+2=（2an+2）+2=2（an+2）=2bn，（2分）
又b1=a1+2=2，
所以，数列{bn}是首项为2、公比为2的等比数列，（4分）
所以数列{bn}的通项公式为bn=2n．（6分）
（2）由（1）得an=2n-2．（7分）
假设{an}中是否存在不同的三项ap，aq，ar（p，q，r∈N*）恰好成等差数列，
不妨设p＜q＜r，则（2p-2）+（2r-2）=2（2q-2），（10分）
于是2p+2r=2q+1，所以1+2r-p=2q-p+1．（12分）
因p，q，r∈N*，且p＜q＜r，所以1+2r-p是奇数，2q-p+1是偶数，（14分）
1+2r-p=2q-p+1不可能成立，
所以不存在不同的三项ap，aq，ar成等差数列．（16分）