Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin=．
（1）求cos C的值；
（2）若△ABC的面积为，且sin²A+sin²B=sin²C，求a，b及c的值．

Answer

（1）所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，得到关于sin的关系式，把sin的值代入即可求出值；
（2）把sin2A+sin2B=sin2C利用正弦定理化简，得到一个关于a，b和c的关系式，记作①，然后根据余弦定理表示出cosC，把（1）中求出的cosC的值代入，得到关于a，b和c的另一关系式，记作②，又根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让面积等于的一个关系式，且由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，把sinC的值代入关系式中化简，得到又一个关于a，b的关系式，记作③，联立①②③组成方程组，求出方程组的解即可得到a，b和c的值．
【解析】
（1）因为sin=，
所以cosC=1-2sin2=1-2=-；（5分）
（2）因为sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理得：a2+b2=c2．①
由余弦定理得a2+b2=c2+2abcosC，将cosC=-代入，
得：ab=c2．②
由S△ABC=absinC=及sinC==，得：ab=6．③
联立①②③，解得或，经检验，满足题意．
所以或．（14分）