Question

已知：等差数列{a_n}的公差和等比数列{b_n}的公比都是d，（d≠1）且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀；
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n和为T_n，求T_n；
（3）b₁₆是否为数列{a_n}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．

Answer

（1）分别利用等差及等比数列的通项公式表示出a4及b4，根据a4=b4列出等式，用d表示出a1，同理分别利用等差及等比数列的通项公式表示出a10及b10，根据a10=b10列出等式，用d表示出a1，两者相等列出关于d的方程，求出方程的解得到d的值，可求出a1的值，即可确定出数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）由第一问求出等比数列{bn}的首项与公比，利用等比数列的前n项和公式即可表示出数列{bn}的前n和为Tn；
（3）b16是{an}中的项，为第34项，理由为：先利用{bn}的通项公式表示出b16，令{an}的通项公式等于表示出的b16，可得出n的值，进而得到b16为数列{an}中的项，由n的值可得出是第几项．
【解析】
（1）a4=a1+3d，b4=b1•d3，∴a1+3d=a1d3，∴a1=，
∵a10=a1+9d，b10=a1•d9，∴a1+9d=a1•d9，a1=，
∴=，∴d9-1=3d3-3，
∴（d3-1）（d6+d3+1）-3（d3-1）=0，
∵d≠1，∴d6+d3-2=0，∴d3=-2．
∴d=-，a1==，
an=a1+（n-1）d=（2-n），bn=•（-）n-1；
（2）∵b1=a1=，d=-，
则数列{bn}的前n和为Tn==（1-）=-；
（3）b16是{an}中的项，为第34项，理由为：
假设b16是{an}中的项，
∵b16=a1d15=•（-）15=-32，an=（2-n），
∴（2-n）=-32，解得：n=34，
∴b16是{an}中的项，为第34项．