Question

如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥DC．

Answer

（1）令E为PD的中点，连接AE，NE，根据三角形中位线定理，及中点的定义，我们易判断MN∥AE，结合线面平行的判定定理，即可得到MN∥平面PAD；
（2）根据已知中，四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，我们易结合线面垂直的判定定理，得到DC⊥平面PAD，进而得到DC⊥AE，由（1）中AE∥MN，根据两条平行线与同一条直线的夹角相等，即可得到结论．
证明：（1）设PD的中点为E，连AE，NE，
则易得四边形AMNE是平行四边形
则MN∥AE，MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD
所以MN∥平面PAD
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD
∴PA⊥CD
又AD⊥CD，PA∩DA=A
∴CD⊥平面PAD
∵AE⊂平面PAD
∴CD⊥AE
∵MN∥AE
∴MN⊥DC