Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-EFC的体积．

Answer

（Ⅰ）法一：由题意，欲证线线垂直，可先证出B1C⊥平面BC1D1再由线面垂直的性质证明EF⊥B1C即可；
法二：可由题设条件证明出EF⊥平面B1FC，再由线面垂直的性质得出线线垂直；
（Ⅱ）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．
（Ⅰ）证明一：连接BD1，BC1
∵E、F分别为DD1、BD的中点∴EF∥BD1
∵正方体ABCD-A1B1C1D1
∴D1C1⊥平面BCC1B1∴D1C1⊥B1C
∵正方形BCC1B1∴B1C⊥BC1
∵D1C1∩BC1=C1∴B1C⊥平面BC1D1∴B1C⊥BD1
∵EF∥BD1∴EF⊥B1C
证明二：∵∴Rt△EDF∽Rt△FBB1
∴∠DEF=∠BFB1∴∠BFB1+∠DFE=∠DEF+∠DFE=90°∴∠EFB1=90°
∴EF⊥FB1    又∵CF⊥平面BDD1B∴CF⊥EF
B1F∩CF=F∴EF⊥平面B1FC∴EF⊥B1C
（Ⅱ）∵CB=CD，BF=DF∴CF⊥BD∵DD1⊥平面ABCD∴DD1⊥CF
又DD1∩BD=D∴CF⊥平面BDD1B1   又CF=
方法一：△B1EF的面积=2×2---=
方法二：∵EF⊥平面B1FC∴EF⊥FB1
EF=，FB1=
Rt△B1EF的面积=×EF×FB1=××=
∴VB1-EFC=VC-B1EF=×S△B1EF×CF==1
∴三棱锥B1-EFC的体积为1．