Question

设不等式x²-2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围．

Answer

M⊆[1，4]有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．
【解析】
M⊆[1，4]有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围．
设f （x）=x2-2ax+a+2，有△=（-2a）2-4（a+2）=4（a2-a-2）．…（2分）
（1）当△＜0时，-1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]．…（3分）
（2）当△=0时，a=-1或2．
当a=-1时，M={-1}⊄[1，4]，故舍去．
当a=2时，M={2}⊆[1，4]．…（6分）
（3）当△＞0时，有a＜-1或a＞2．
设方程f （x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，
那么M=[x1，x2]，由M⊆[1，4]可得 1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，
且f （x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即，…（8分）
∴，解得2＜a≤．…（10分）
综上可得，M⊆[1，4]时，a的取值范围是[-1，]．…（12分）