Question

已知椭圆方程为（a＞b＞0），长轴两端点A、B，短轴上端顶点为M，点O为坐标原点，F为椭圆的右焦点，且=1，|OF|=1．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题意可知c，进而根据=1求得a，进而利用a和c求得b，故可得椭圆的方程；
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设出P，Q的坐标，利用点M，F的坐标求得直线PQ的斜率，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用=0求得m，即可得到直线的方程．．
【解析】
（1）由题意知c=1，
又=1，
∴（a+c）•（a-c）=1=a2-c2，∴a2=2
故椭圆方程为；
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则
设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵M（0，1），F（1，0），故kPQ=1，
于是设直线l为y=x+m，与椭圆方程联立，消元可得3x2+4mx+2m2-2=0
∵=x1（x2-1）+y2（y1-1）=0又yi=xi+m（i=1，2）
得x1（x2-1）+（x2+m）（x1+m-1）=0
即2x1x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0
由韦达定理得2•-（m-1）+m2-m=0
解得m=- 或m=1（舍）
经检验m=-符合条件，故直线l方程为