Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（m+1）-ma_n对于任意的正整数n都成立，其中m为常数，且m＜-1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足：，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N），求证：数列{}是等差数列，并求数列{b_nb_n+1}的前n项和．

Answer

（1）由Sn=（m+1）-man可得Sn+1=（m+1）-man+1，两式相减整理后即可证得{an}是等比数列；
（2）由（1）可求得a1，从而可得b1，由q=f（m）=；得bn=f（bn-1）=；两边取倒数即可得到数列{}是等差数列；进而求出其通项，再利用裂项法求出数列{bnbn+1}的前n项和即可．
【解析】
（1）由已知Sn=（m+1）-man；
Sn+1=（m+1）-man+1，
相减，得：an+1=man-man+1，
即=，
所以{an}是等比数列
（2）当n=1时，a1=m+1-ma1，
则a1=1，
从而b1=，
由（1）知q=f（m）=，
所以bn=f（bn-1）=（n≥2）
∴=1+，
∴数列{}是首项为，公差为1的等差数列
∴=3+（n-1）=n+2，
故：bn=    （n≥1），
∴{bnbn+1==；
∴数列{bnbn+1}的前n项和A=（-）+（-）+…+（-）=-=．